HISTORIA

Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.

La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con fuerza nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ellas, la cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural.

Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas. En menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro se llama MATEMÁTICAS.

-PITÁGORAS

Hace unos 25 siglos, vivió Pitágoras de Samos, uno de los personajes más conocidos y a la vez más misteriosos de las Matemáticas. Filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto. Es considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda. Pitágoras viajó a Egipto y Babilonia, donde asimiló conocimientos tanto matemáticos como astronómicos, así como religiosos. Fundó una escuela conocida como Hermandad Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C) cuyos miembros estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas.

Distinguieron conceptos tales como los de número primo ó número perfecto (aquél que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en sí mismo; por ejemplo, el 28). La influencia de la escuela pitagórica es indudable sobre los Elementos de Euclides.

-EUCLIDES

Floreció hacia el 300 a.C. en Alejandría, y es junto a Arquímedes y Apolonio,

posteriores a él, uno de los tres mayores matemáticos de la Antigüedad y también uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides está ligado a la geometría, al escribir su famosa obra "Los Elementos", prototipo en esta rama de las matemáticas.

Sabemos que fue profesor de Matemáticas en el Museo de Alejandría. La leyenda cuenta que cuando uno de sus alumnos le preguntó para qué servía estudiar geometría, Euclides ordenó que le dieran unas monedas “ya que debe ganar algo necesariamente  con lo que aprende”.

Cuando aparecieron los Elementos Euclidianos ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. Euclides demuestra que hay infinidad de números primos en la proposición número 20 del libro IX de los Elementos: “Ningún conjunto de números primos incluye a todos”. 

También demostró el siguiente teorema:

“Si el número 2n - 1 es primo, entonces el número  2^(n-1)*(2^n - 1) es un número perfecto”.


-ERATÓSTENES (195-276 a.C.)

Cerca del 200 a. C., el astrónomo Eratóstenes de Cirene ideó un algoritmo para calcular números primos llamado Criba ó Tamiz de Eratóstenes.:

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso
termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.

Números primos menores que 100:

Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que usualmente es llamado la Edad Oscura.

-FERMAT (1.601-1665)

El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat muchos siglos más tarde. Pierre de Fermat nació en Francia en 1601 y las matemáticas eran su gran afición. Él demostró que cada número primo de la forma 4n+1 puede ser escrito de manera única como la suma de dos cuadrados y demostró cómo cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización de
números largos, y un teorema importante es el que se conoce como El pequeño teorema de Fermat; éste establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que a^ p = a módulo p.


-EULER (1.707-1.783)

Fue el científico más importante de Suiza, nacido en Basilea en 1707. El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría de números en general y sobre la de primos en particular. Fue el primero en publicar la prueba del Pequeño Teorema de Fermat, y también demostró otra famosa afirmación de Fermat: “un primo de la forma 4k+1 se puede expresar como la suma de dos cuadrados perfectos de manera única, mientras que un número de la forma 4k-1 no puede descomponerse de ninguna forma como suma de dos cuadrados perfectos”. Como ya he dicho antes, factorizó el 5º primo de Fermat.

Pero esto fue sólo el principio, profundizó mucho en este tema y cuatro volúmenes de sus obras completas tratan de teoría de números. De su correspondencia con Christian Goldbach, surgió la conjetura de Goldbach: “todo número par mayor que 2 es suma de dos primos”.

Euler fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando herramientas del análisis.

-GAUSS (1.777-1.855)

Matemático alemán nacido en Brunswick, Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Hizo una labor importante en la Teoría de Números, sintetizada en su famosa obra "Disquisitiones
arithmeticae", responsable del desarrollo del lenguaje y de las notaciones de la rama de la teoría de números conocida como álgebra de congruencias, ejemplo primitivo de las clases de equivalencia. El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y sólo una forma.

A la temprana edad de 14 años, el joven Gauss conjeturó que cuando x crece ilimitadamente, el número de primos menores ó iguales que x, llamado π(x), es como x/log(x). La demostración de esta conjetura, conocida como el Teorema de los números primos, requirió casi cien años.

-RIEMANN (1.826-1.866)

Georg Friedrich Riemann fue un matemático alemán, nacido en Breselenz en 1826 y fallecido en Selasca (Italia). Empezó su vida con estudios religiosos, intentando demostrar la veracidad del Génesis mediante razonamientos matemáticos. Fracasó en el intento, pero se descubrió su talento matemático y su ambición religiosa se desvió. En 1851 su tesis doctoral recibió la aprobación ni más ni de menos que del propio Gauss.

Riemann dejó indicado el camino para demostrar el teorema de los números primos.

Conjeturó que, una vez extendida adecuadamente la función zeta al plano complejo, todos los números        x + iy con x > 0 y tales que ζ (x + iy) = 0, deben cumplir que x = ½, es decir, los ceros de zeta en el semiplano derecho están en “fila india”. Ésta es la famosa Hipótesis de Riemann. Que esta conjetura sea verdad equivale a obtener el error óptimo en el teorema de los números primos. Este problema sigue sin resolverse y constituye un agujero en la teoría de los números primos; el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares por resolver cada uno de los problemas del milenio, entre los que se encuentra la Hipótesis de Riemann.